An augmented subspace Conjugate Gradient

Many scientiic applications require to solve successively linear systems Ax = b with diierent right-hand sides b and a symmetric positive deenite matrix A. The Conjugate Gradient method applied to the rst system generates a Krylov subspace which can be eeciently recycled thanks to orthogonal projections in subsequent systems. A modiied Conjugate Gradient method is then applied with a speciic initial guess and initial descent direction and a modiied descent direction during the iterations. This paper gives new theoretical results for this method and proposes a new version which seems robust as far as loss of orthogonality is concerned. Numerical experiments show the eecacy of our method even for quite diierent right-hand sides. Gradient Conjugu e avec sous-espace augment e R esum e : Dans beaucoup d'applications scientiiques, il faut r esoudre successivement des syst emes lin eaires du type Ax = b avec dii erents seconds membres b et une matrice sym etrique d eenie positive A. Lorsqu'on applique la m ethode du Gradient Conjugu e au premier syst eme, on g en ere un sous-espace de Krylov que l'on peut recycler eecacement dans les syst emes suivants gr^ ace a des projections orthogonales. On applique alors une m ethode de Gradient Conjugu e modii ee, o u on d eenit une solution et une direction de descente initiales sp eciiques et o u on modiie la direction de descente durant les it erations. Ce rapport pr esente de nouveaux r esultats th eoriques pour cette m ethode et propose une nouvelle version qui semble robuste par rapport a la perte d'orthogonalit e. Les essais num eriques montrent l'eecacit e de notre m ethode m^ eme pour des seconds membres tr es dii erents.